[시계열] 지수평활법(Exponential Smoothing)

1. 구간(이동) 평균법(Moving Average, MA)

• 지수평활법의 시작점. 과거시점의 일정 기간(N)의 평균으로 다음 시점을 예측.
• 과거 N 개의 데이터에 동일한 가중치를 둠. 
• 예를 들어, 아래 데이터의 경우 t=6에서의 구간 평균치(70+28+72/3)인 56.67으로 이후 시점들의 예측값으로 사용. 즉, 미래 예측값이 모두 동일.
• 트렌드가 없고 분산, 평균이 일정한 데이터는 구간 평균법이 잘 맞음.
• Hyper parameter : N / N이 작은 경우 최근 데이터 경향을 많이 반영, N이 큰 경우 과거 데이터 경향 많이 반영해 편평하게 예측.

구간평균법

2. 단순지수평활법(Simple Exponential Smoothing)

• Smoothing이란 결국 '평균'을 구한다는 뜻. 단순지수평활법은 이전 관측치들의 가중 평균값인데, 최근 값에 높은 가중치를 둠. 즉, 가장 최근의 관측값을 가장 중요하게 생각하고, 이전의 모든 관측값은 미래를 예측할 때 거의 아무런 정보를 주지 않는다고 가정함. 
• 최근 관측치에 더 큰 가중치(0 <= alpha <= 1)를 둠. 과거로 갈수록 가중치가 지수적으로 감소함. 
• L(0)는 전체 데이터의 평균값.
• L(t+1)는 시간 t+1에서 시계열의 수준값(평활화 된 값). 즉,  t+1 시점의 현재 데이터와 이전 수준(이전 데이터들의 누적값)의 가중 평균.
• 마지막 수준값을 이후 시점의 예측값들로 사용, 즉 예측값들이 동일함 => 트렌드가 없는 데이터에 적합한 방법.
• 'smooth'한 데이터의 경우 큰 alpha값 사용해 최근 데이터에 큰 가중치 적용, 'nosiy'한 데이터의 경우 작은 alpha 사용해 과거 데이터에 보다 큰 가중치 적용. 
• 가중치 alpha는 SSE를 최소화(최적화 도구 사용)해 추정. (잔차 = y(t) - y(t)') 

 

단순 지수평활법

단순 지수평활법 예제

성분 형태

3. 홀트의 선형추세 기법(Holt's Exponential Smoothing / Double Exponential Smoothing)

• Holt(1957)는 추세가 있는 데이터를 예측할 수 있도록 단순 지수평활법을 확장함. 
• 수준(level)만 고려하는게 아니라 추세 B(t) 도 고려함. B(t)도 업데이트. 
• L(0)와 B(0)는 회귀분석으로 결정함. 
  • 종속변수를 관측값으로, 독립변수를 시간 인덱스로 하여 회귀분석 => 기울기 : 추세 B(0), 절편 : L(0)
  • L(0) : 회귀분석에서 X가 0일 때 종속변수의 평균값.
  • B(0) : X 1 단위 증가시, 여기서는 시간 인덱스 1 증가시 y의 증가량. 즉, 추세를 반영함.
• L(t+1)는 시간 t+1에서의 수준 추정값
  • 구하는 방법은 앞선 단순 지수평활법과 같은데 growth rate인 b(t)도 고려함. 
• B(t+1)는 시간 t+1에서 추세 추정값
  • 이전의 추세 B(t)를 '(1-beta*)가장 최근 수준값들의 차이 + (beta*)이전 추세값'으로 업데이트 함.
  • 여기서 가장 최근 수준값들의 차이는 결국 기울기, 즉 추세를 의미함. 
  • beta*는 추세의 평활 매개변수. (0 <= beta* <= 1)
  • beta*는 추세를 조절하는 속도를 정함. 
• 예측값은 마지막 수준값 + (상수(예측하고자 하는 시점)*마지막 추세값)
  • 즉, 수준은 고정되어 있고, 추세값에 상수배를 하며 예측값이 달라짐.
• alpha, beta*는 training set의 RMSE 나 MAPE를 최소화하는 값을 찾음.

 

이중지수평활법

alpha = 0.1, beta = 0.1

4. 홀트-윈터(Holt-Winter) 지수평활법(삼중 지수평활법) 

• 이중 지수평활법에 계절 요인까지 반영한 방법.
• (작성 대기)

 

 

 

 

5. 시계열 특징에 따른 지수평활법 선택 

 

출처) https://rfriend.tistory.com/511

 

 

[참고자료]

 

https://www.youtube.com/watch?v=DUyZl-abnNM 

https://www.youtube.com/watch?v=noFCkN6gXZ4&list=PLpIPLT0Pf7IqSuMx237SHRdLd5ZA4AQwd&index=8 

https://rfriend.tistory.com/511